Finite Mathematik Beispiele

$4 x + 3 y = 24$ , $3 x + 4 y = 8$

Schritt 1

Löse in $4 x + 3 y = 24$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 24 - 3 y$

$3 x + 4 y = 8$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 24 - 3 y$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 24 - 3 y$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{24}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 8$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{24}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 8$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{24}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 8$

$x = \frac{24}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 8$

$x = \frac{24}{4} + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 8$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $24$ durch $4$ .

$x = 6 + \frac{- 3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 8$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$3 x + 4 y = 8$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $6 - \frac{3 y}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x + 4 y = 8$ durch $6 - \frac{3 y}{4}$ .

$3 (6 - \frac{3 y}{4}) + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 (6 - \frac{3 y}{4}) + 4 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 6 + 3 (- \frac{3 y}{4}) + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$18 + 3 (- \frac{3 y}{4}) + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $3 (- \frac{3 y}{4})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$18 - 3 \frac{3 y}{4} + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3 y}{4}$ .

$18 + \frac{- 3 (3 y)}{4} + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$18 + \frac{- 9 y}{4} + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$18 + \frac{- 9 y}{4} + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$18 - \frac{9 y}{4} + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$18 - \frac{9 y}{4} + 4 y = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Um $4 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$18 - \frac{9 y}{4} + 4 y \cdot \frac{4}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $4 y$ und $\frac{4}{4}$ .

$18 - \frac{9 y}{4} + \frac{4 y \cdot 4}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$18 + \frac{- 9 y + 4 y \cdot 4}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$18 + \frac{- 9 y + 4 y \cdot 4}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 9 y + 4 y \cdot 4$ heraus.

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Schritt 2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 9 y$ heraus.

$18 + \frac{y \cdot - 9 + 4 y \cdot 4}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $4 y \cdot 4$ heraus.

$18 + \frac{y \cdot - 9 + y (4 \cdot 4)}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 9 + y (4 \cdot 4)$ heraus.

$18 + \frac{y (- 9 + 4 \cdot 4)}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$18 + \frac{y (- 9 + 4 \cdot 4)}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$18 + \frac{y (- 9 + 16)}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.1.3

Addiere $- 9$ und $16$ .

$18 + \frac{y \cdot 7}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$18 + \frac{y \cdot 7}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.4.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $y$ .

$18 + \frac{7 y}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$18 + \frac{7 y}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$18 + \frac{7 y}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$18 + \frac{7 y}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$18 + \frac{7 y}{4} = 8$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3

Löse in $18 + \frac{7 y}{4} = 8$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{7 y}{4} = 8 - 18$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $18$ von $8$ .

$\frac{7 y}{4} = - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$\frac{7 y}{4} = - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7 y}{4} = \frac{4}{7} \cdot - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{7} \cdot \frac{7 y}{4}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7 y}{4} = \frac{4}{7} \cdot - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{7} \cdot (7 y) = \frac{4}{7} \cdot - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$\frac{1}{7} \cdot (7 y) = \frac{4}{7} \cdot - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7 y$ heraus.

$\frac{1}{7} \cdot (7 (y)) = \frac{4}{7} \cdot - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} \cdot (7 y) = \frac{4}{7} \cdot - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{4}{7} \cdot - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{4}{7} \cdot - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{4}{7} \cdot - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{4}{7} \cdot - 10$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $\frac{4}{7} \cdot - 10$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere $\frac{4}{7} \cdot - 10$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $- 10$ .

$y = \frac{4 \cdot - 10}{7}$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$y = \frac{- 40}{7}$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{- 40}{7}$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{40}{7}$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = 6 - \frac{3 y}{4}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{40}{7}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 6 - \frac{3 y}{4}$ durch $- \frac{40}{7}$ .

$x = 6 - \frac{3 (- \frac{40}{7})}{4}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $6 - \frac{3 (- \frac{40}{7})}{4}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = 6 - \frac{- 3 (\frac{40}{7})}{4}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{40}{7}$ .

$x = 6 - \frac{\frac{- 3 \cdot 40}{7}}{4}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = 6 - \frac{\frac{- 3 \cdot 40}{7}}{4}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $40$ .

$x = 6 - \frac{\frac{- 120}{7}}{4}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 6 - \frac{- \frac{120}{7}}{4}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = 6 - (- \frac{120}{7} \cdot \frac{1}{4})$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{120}{7}$ in den Zähler.

$x = 6 - (\frac{- 120}{7} \cdot \frac{1}{4})$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 120$ heraus.

$x = 6 - (\frac{4 (- 30)}{7} \cdot \frac{1}{4})$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 6 - (\frac{4 \cdot - 30}{7} \cdot \frac{1}{4})$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 6 - \frac{- 30}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = 6 - \frac{- 30}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 6 + \frac{30}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.1.7

Multipliziere $- - \frac{30}{7}$ .

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Schritt 4.2.1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 6 + 1 (\frac{30}{7})$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{30}{7}$ mit $1$ .

$x = 6 + \frac{30}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = 6 + \frac{30}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = 6 + \frac{30}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$x = 6 \cdot \frac{7}{7} + \frac{30}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.3

Kombiniere $6$ und $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{6 \cdot 7}{7} + \frac{30}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{6 \cdot 7 + 30}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$x = \frac{42 + 30}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $42$ und $30$ .

$x = \frac{72}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = \frac{72}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = \frac{72}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = \frac{72}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

$x = \frac{72}{7}$

$y = - \frac{40}{7}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{72}{7}, - \frac{40}{7})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{72}{7}, - \frac{40}{7})$

Gleichungsform:

$x = \frac{72}{7}, y = - \frac{40}{7}$

Schritt 7